Archive for the ‘Explications’ Category

Analyse IV à l'EPFL - Série 11

jeudi 8 mai 2014

Pour cette série 11, de nouvelles découvertes grâce aux fonctions complexes, incluant une vidéo pour comprendre un exercice paramétré par p (le 12.3.10 du livre de Dacorogna-Tanteri)

Version PDF
Version PowerPoint

Théorème des résidus, théorème de l'hôpital, on commence à utiliser de tout !

Analyse IV à l’EPFL – Série 7

samedi 5 avril 2014

Cette septième série était marquée par des exercices de révisions.
Voici les illustrations présentées pour montrer que 1-2i n'était pas dans l'intérieur de \gamma, et comment se passait l'intégration.

Version PDF - Série 7
Version PowerPoint - Série 7

Et n'hésitez pas à faire un tour sur le mode "Expert" de www.reflex4you.com, pour pouvoir tracer vos propres fonctions.

Analyse IV à l’EPFL – Série 6

mercredi 26 mars 2014

Bonjour à tous !

La semaine dernière ayant eu beaucoup de théorie, il n'était pas ou peu utile d'utiliser les Reflex pour comprendre le fonctionnement.
Cette semaine, on aborde les séries de Laurent et de Taylor, alors régalez-vous bien avec ces présentations qui vous donneront une image précise de ce que vous faites en classe.

Série de Taylor 10 de (z+1)^1.5

Egalement, je vous invite à consulter le nouveau site www.mikaelmayer.com/reflex4you où vous pouvez littéralement chercher de superbes cadeau personnalisables. Le dernier ajouté est une coque d'iPhone personnalisée.

J'ai aussi créé un jeu à partir de nouvelles Reflex, 2048 Complex Function Edition. Attention, c'est très joli mais c'est plus difficile ! A bientôt et n'hésitez pas à laisser des commentaires

Analyse IV à l’EPFL – Série 4

vendredi 14 mars 2014

Pour cette quatrième série sur les nombres complexes, voici une interprétation graphique de pourquoi l'intégrale autour d'un pôle d'une fonction donne un résultat comme 2\pi, un nombre réel sans partie imaginaire et non nul.

Nous voyons également quelles sont les racines de la fonction z\rightarrow i^z+i, ou quels sont les nombres complexes pour lesquels i^z vaut -i

Série 4 - Version Powerpoint

Série 4 - Version PDF

Puisque le laplacien d'une fonction holomorphe est nul, on peut également interpréter un pôle comme un dipôle électrostatique orienté vers la droite, et la fonction représente le champ électromagnétique autour. Pourriez-vous voir maintenant une application au théorème de Cauchy?

Analyse IV à l’EPFL – Série 3

lundi 10 mars 2014

La troisième série était épique, puisqu'elle a donné le jour à trois vidéos dans les présentations.
En effet, nous étudions des fonctions multivoques, à savoir la réciproque de cosinus, la racine carrée et le logarithme.
J'espère que cela vous éclaire sur certains aspects de fonctions complexes.

Exercices 3 - Powerpoint (avec les vidéos)

Exercices 3 - Version PDF (sans les vidéos)

A venir bientôt, un générateur de fonction complexe en ligne où vous pourrez tester ces fonctions et faire vos propres explorations.

Analyse IV à l’EPFL - Série 2

vendredi 28 février 2014

Le diaporama relatif aux exercices de la série 2 est disponible ci-dessous. Il contient notamment

  • La preuve visuelle que real(z)^2 n'est pas holomorphe
  • La définition de la fonction exponentielle par multiplication
  • Les deux exercices de détermination de fonction holomorphe à partir de sa partie réelle.
  • Un bonus non présenté en classe: comment trouver les zéros de la dernière fonction? Avec la méthode de Newton, on fait converger la fonction localement vers ses zéros et cela donne une espèce de fractale autour de ces points.
  • Une vidéo montrant la fonction racine carrée multivoque

https://www.dropbox.com/s/vvyhxrk1mv0nuuy/Ex2.pdf
https://www.dropbox.com/s/zya00hng2etn475/Ex2.pptx
Merci pour votre participation et votre enthousiasme !

Complément au cours d'Analyse IV à l'EPFL

vendredi 21 février 2014

Cette semaine, nous démarrons un cours à l'EPFL d'analyse complexe.
Voici quelques représentations graphiques de quelques-uns des problèmes complexes rencontrés:

https://www.dropbox.com/s/w7m21tn4xqnkmfc/Ex1.pdf
https://www.dropbox.com/s/b8mbxtdqdtzfah9/Ex1.pptx

En fait, la formule log(z+1) est bien juste, contrairement à la faute que l'on avait remarquée lors de la présentation.

Les Reflex d'anniversaire

samedi 3 octobre 2009

Cela fait un mois déjà que je suis en train de produire des Reflex à la vitesse d'une par anniversaire de mes amis, donc une à deux par jour, produites toujours le jour même de l'anniversaire, en fonction de ce que je connais de la personne et des images que je découvre au fur et à mesure.
Aussi, pour garder ce rythme de production assez élevé, je continue le développement du logiciel, c'est donc pour cela que je ne fais pas encore de version publique.

Peut-être aurez-vous remarqué, les images sont générées maintenant au format 4:3, qui est plus adapté à nos écrans, enfin, beaucoup plus que le format 1:1, et donne l'impression paradoxale de révéler l'image encore plus. Peut-être à cause du fonctionnement de notre vision, mais bref.

J'ai essayé différentes graines, et différents squelettes de formules. Voici un peu dans l'ordre les quelques tests effectués

  • oo(randf(16), 5) - fonction aléatoire non forcément holomorphe avec 16 paramètres, fractalisée au niveau 5. Cela donnait des résultats intéressants, mais dû à l'absence de régularité, il ne pouvait pas souvent y avoir des motifs fractaux.
  • oo(randf(8)+randf(8), 5) - somme de deux fonctions aléatoires. Il m'a semblé que la somme de deux fonctions aléatoires donnait les résultats plus impressionnants.
  • oo(randf(9)+randh(9), 5) - Une partie fixée non holomorphe, et une partie fixée holomorphe.  Cette heuristique permet de combiner les parties fractales avec des motifs aléatoires.

Voici un exemple de rendu pour l'anniversaire d'une de mes amies, le 24 septembre 2009.

Du rubis, de lor, du rêve.

Du rubis, de l'or, du rêve.

Le making-of de la vidéo Reflex

lundi 31 août 2009

Voici quelques informations sur comment la vidéo explicative des fonctions complexes a été réalisée.
Les images qui y apparaissent sont disponibles en haute qualité à la fin de cet article.

Pourquoi une vidéo ?

Cela faisait longtemps que j'avais cette idée en tête que si on voyait une fonction réelle par le dessus, il resterait une autre dimension spatiale pour observer les fonctions complexes.
Cependant, il était difficile de passer cette idée par les mots; ainsi ai-je songé à faire une vidéo.
J'en ai alors profité pour y rajouter les applications possibles de la représentation.

La musique : Reflex II

Compositeur : Mikaël Mayer
Longueur : 2'32"
Télécharger : Partition, MP3
Histoire : La musique a été composée sous Finale 2004, coinjointement avec le storyboard de la vidéo. Elle est enregistrée en mp3, mais tirée d'un fichier midi original. D'où la pauvre qualité sonore, compensée par l'harmonie. Elle a été finalisée en octobre 2007.

Les Reflex présentées

Remerciements

  • A mes parents qui m'ont soutenu et aidé à avoir un texte rigoureux
  • A mes amis anglophones qui m'ont permis de traduire sans trop de fautes
  • A tous ceux qui m'ont soutenu de près ou de loin pendant la réalisation du clip
  • A Google pour le reste...